Números fraccionarios

A veces hay que olvidar lo que sientes, y recordar lo que mereces. ----Frida Kahlo

Se dividen en:

Propias, cuando el numerador es más pequeño que el denominador

1     3     2   3     4     7
Impropias, cuando el numerador es más grande o igual que el denominador   4     11    7   3      4     7

Mixtas, cuando hay una parte entera y otra fracción propia.

1 1   2 1   16 2

    2        4          3

Todo resultado debe simplificarse a su mínima expresión, dividiendo entre

un mismo número tanto al numerador como al denominador. Pueden ser

diferentes divisores cada vez, siempre y cuando sean iguales tanto para

numerador como denominador.

Máximo Común Divisor (MCD)

El mayor de los comunes divisores de dos o más cantidades.

Si queremos hallar el MCD de 36, 60 y 72. los descomponemos en factores

primos.

36 = 2(18)   2(9)   3(3)   3(1)

60 = 2(30)   2(15) 3(5)  5(1)

72 = 2(36)   2(18) 2(9)  3(3)   3(1)

Vemos que los números que se repiten en las tres descomposiciones

son el 2 y el 3, los tomamos con el menor exponente al que están afectados,

por lo que el MCD será 2² x 3 = 4 x 3 = 12

O bien, el siguiente proceso, el tradicional podríamos decir, pues fue el que

nos compartieron en la primaria los profesores.

36 |2          60 |2         72 |2

18 |2          30 |2         36 |2

  9 |3          15 |3         18 |2

  3 |3            5 |5           9 |3

  1                  1                3 |3

                                      1

Vemos que los números que se repiten en las tres descomposiciones

son el 2 y el 3, los tomamos con el menor exponente al que están afectados,

por lo que el MCD será 2² x 3 = 4 x 3 = 12

Obtener el MCD de 18 y 25

        18 |2        25 |5

          9 |3          5 |5

          3 |3          1

          1

18 = 2 x 3²

25 = 5²

No hay ningún factor repetido, luego

MCD (18, 25) = 1

Mínimo común múltiplo de dos o más números: Es el menor de los múltiplos comunes. Se  escribe mcm (a, b, c...)

Para hallar el mínimo común múltiplo de varios números se descomponen en factores primos y se toman los comunes y no comunes de mayor  exponente. (se toman todos, pero los repetidos sólo el de mayor exponente)

Hallar el mínimo común múltiplo   de 72  y  60

72 |2               60 |2

36 |2               30 |2

18 |2               15 |3

  9 |3                 5 |5

  3 |3                 1

  1

 Hemos visto la descomposición de ambos números:  72 = 2³ x 3²      60 = 2² x 3 x 5  

Divisores todos (comunes y no comunes) : 2, 3  y  5.        

Mayor exponente del   2:  2³

del   3:  3²

y del   5:  5        Luego  mcm (72, 60) =  2³ x 3² x 5 = 8 x 9 x 5 = 360

Propiedad:  Los múltiplos comunes a varios números son los múltiplos de su mínimo común múltiplo.

- El producto del MCD  por el  mcm  de dos números es igual al producto de dichos números. O sea   mcd (a, b) x mcm (a, b) = a·b

Consecuencias: El MCD de varios números es igual o menor que el  menor de todos ellos; sin embargo el mcm de varios números es  igual o mayor que el mayor de ellos.

Ejemplo: Hallar el MCD  y  mcm  de 90, 235 y 940

90 |2          235 |5                 940 |2

45 |3            47 |47               470 |2

15 |3              1                       235 |5

  5 |5                                         47 |47

  1                                                1

La factorización de estos números es: 90 = 2 x 3²  x 5;   235 = 5 x 47;   940 = 2² x 5 x 47

Divisores comunes: 5.

Menor exponente del 5:  5¹ = 5 (el exponente "1" no se pone).

Según esto el MCD (90, 235, 940) = 5.    

Todos los divisores (comunes y no comunes): 2, 3, 5 y 47

mayor exponente del 2:  2²

mayor exponente del 3: 3²

del 5:  5

y del 47:   47                            luego  mcm (90, 235, 940) = 2²·3²·5·47 = 8460.

Suma

Primer método:

5 + 3  =   5 + 6   = 11   = 1 3 porque se puede igualar el segundo término al primero.

8    4           8           8          8 

Segundo método:

2  +  3  =

3      5

Multiplicamos en cruz para obtener el nuevo numerador, y en línea para el nuevo denominador.

(2 x 5) + (3 x 3)  =

         (3 x 5)

10 + 9  = 19  = 1 4

     15       15        15  

Proceso: Se multiplica en cruz, es decir numeradores con denominadores

para obtener un nuevo numerador; después se multiplican los denomina-

dores y obtenemos el nuevo denominador.

Resta

Primer método, igualando el segundo término al primero, porque es posible.

3 - 1 =

4   2   

Igualamos el segundo término al primero, multiplicando por 2 tanto al numerador como al denominador.

3 - 2 =

4    4  

Hacemos la operación y ya queda simplificado

1

4

Segundo método,

3 - 1 =

4   2  

Multiplicamos en cruz para los nuevos numeradores, y en línea para el nuevo denominador

(3x2) - (4x1) =

    8          8     

Hacemos las operaciones

6 - 4 = 2  =

   8       8

Simplificamos a su mínima expresión, dividiendo entre 2 tanto al numerador como al denominador.

  1

  4

Multiplicación

1 3 x 3 =

   8

Convertimos la fracción mixta a fracción impropia, lo mismo hacemos con el segundo término.

8 + 3 x 3 =

8     8

Procedemos a hacer las operaciones.

11 x 3 = 33

  8            8

Simplificamos

4 1

   8

División

20 : 8

 2    4

Primer método: igualamos el segundo término al primero, porque se puede si lo dividimos entre 2

20 : 4

 2    2

Multiplicamos en cruz para los nuevos numeradores, y en línea para el nuevo denominador.

Procedemos a efectuar las operaciones:

20 : 4 = 20 x 2 : 4x2 = 40 : 8 = 10 : 2 =5

 2    2           2 x 2          4     4

Segundo método:

20 : 8

 2    4

= 20x4 : 2x8

       8         8

=  80 : 16

    8      8

= 10 : 2

= 5

Ahora bien, en el primer método igualamos el segundo al primer término, pero igual pudimos hacerlo a la inversa, a saber:

20 : 8 

 2    4

20x2 : 8 

 2x2    4

40 : 8 

 4    4

= 10 : 2 = 5

Esto es lo fascinante de las matemáticas: un problema, dos o más soluciones.

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